p(N0, N1|p) = p(N0, N1, p) / p(p)

其中，p(N0, N1, p)表示在n次试验中，N0次试验输出0，N1次试验输出1，且BIASED-RANDOM以概率p输出1的概率。p(p)表示概率p的概率密度函数，可以在已知p的范围的情况下计算得到。

(资料图片)

由于要求无偏的结果，因此N0和N1的概率分布应该是相等的。因此，可以取p(N0, N1|p) = 1 / (n+1)，并将此值作为算法的输出结果。

该算法的期望运行时间取决于n的大小。在最坏情况下，即n非常大时，每次试验都需要很长时间才能得到结果。因此，该算法的期望运行时间可能会非常大。但是，当n比较小的时候，该算法的运行时间是O(1)的。

我们可以使用 BIASED-RANDOM 作为子过程，来生成一个无偏的随机数。具体来说，我们可以利用 BIASED-RANDOM 生成两个独立的随机数 x 和 y,然后根据以下条件计算出一个新的随机数 z:

如果 x 输出了 1,y 输出了 0,则 z 输出 0;

如果 x 输出了 0,y 输出了 1,则 z 输出 1;

否则，z 输出 x*y。

这个新的随机数 z 就是我们需要的结果。由于 BIASED-RANDOM 是无偏的，因此这个新随机数 z 也是无偏的。同时，由于 BIASED-RANDOM 只依赖于 p 和 x、y 两个独立的过程，因此它的期望运行时间是 O(p)。

现在我们来计算一下这个新随机数 z 的期望值。由于 BIASED-RANDOM 是一个二元过程，因此它的期望值为 pp+(1-p)(1-p)=2p^2-2p+1。而根据上面的条件，z 的期望值为：

E(z) = p(xy) + (1-p)(x(1-y)) + (1-p)(y(1-x))= pxy + (1-p)x + (1-p)y= pxy + px + py= p(xy + x + y)= p*z

因此，我们得到了一个新的期望运行时间为 O(p),并且能够以概率 1/2 返回 0、以概率 1/2 返回 1 的无偏随机数生成函数。

可以使用Bernoulli-Monte Carlo方法来实现。具体来说,可以设置BIASED-RANDOM过程的初始值为0,并不断迭代直到达到所需的输出结果。在每个迭代步骤中,将BIASED-RANDOM过程的输出乘以p并将结果加上 BIASED-RANDOM过程的当前值。重复此操作直到最终结果满足要求为止。这个算法的预期时间复杂度取决于BIASED-RANDOM过程的期望时间复杂度。在这种情况下,由于每次迭代都涉及到一次BIASED-RANDOM过程的输出,因此期望时间复杂度为O(E[BIASED-RANDOM]) = O(log E[x]),其中E表示期望值。由于 BIASED-RANDOM 是一个二项分布,其期望值可以通过二项分布的性质来计算。因此,我们可以计算出BIASED-RANDOM的期望时间复杂度为O(log E[x]),其中E[x]表示任意两个连续时间点之间经过的时间间隔。

算法如下：

1.调用 BIASED-RANDOM 过程，得到概率 p 的值。

2.如果 p > 0.5，则返回 0。

3.如果 p < 0.5，则返回 1。

这种算法是无偏的，因为它不考虑 BIASED-RANDOM 过程的输出，而是根据 p 的值随机选择返回 0 或 1。对于每个 p 的值，算法都需要调用 BIASED-RANDOM 过程一次，因此时间复杂度为 O(1)。

由于 BIASED-RANDOM 过程的输出是随机的，因此算法的期望运行时间与 p 的值有关。当 p 接近 0 或 1 时，算法的期望运行时间会相应缩短，因为在这种情况下，BIASED-RANDOM 过程的输出更可能接近 0 或 1。

为了以 1/2 的概率输出 0 和 1，我们可以利用 BIASED-RANDOM 过程来实现。具体算法如下：

1.调用 BIASED-RANDOM 过程两次；

2.如果两次结果都是相同的，则返回这个结果；

3.否则，重复步骤 1。

由于 BIASED-RANDOM 过程只输出 0 和 1 两种结果，因此该算法的期望运行时间不会超过 3 次调用 BIASED-RANDOM 过程。接下来，我们分别考虑前两次调用 BIASED-RANDOM 过程的情况：

1.如果第一次和第二次调用的结果都是 0 或者都是 1，则直接返回这个结果即可；

2.如果第一次和第二次调用的结果不同，则需要再次调用 BIASED-RANDOM 过程，重复上述步骤。

由于 BIASED-RANDOM 过程的输出概率为 p 和 1-p，因此两次调用结果相同的概率为 p^2 + (1-p)^2，结果不同的概率为 2p(1-p)。因此，需要多次调用 BIASED-RANDOM 过程的概率为 2p(1-p)，即：

P(需要多次调用) = 2p(1-p)

第一次和第二次调用结果相同的概率为 p^2 + (1-p)^2，即：

P(第一次和第二次结果相同) = p^2 + (1-p)^2

因此，算法的期望运行时间为：

E(T) = P(需要多次调用) * [2 + E(T)] + P(第一次和第二次结果相同)

展开得到：

E(T) = 2p(1-p)*[2+E(T)] + (p^2 + (1-p)^2)

整理可得：

E(T) = 2 + 2p - 4p^2

因此，该算法的期望运行时间为 O(1)，只需要进行常数次 BIASED-RANDOM 过程调用即可得到无偏结果。